问题 解答题
已知函数f(x)=2cos2
x
2
-
3
sinx

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和值域;
(Ⅱ)若a为第二象限角,且f(a-
π
3
)=
1
3
,求
cos2a
1-tana
的值.
答案

(Ⅰ)f(x)=2cos2

x
2
-
3
sinx=1+cosx-
3
sinx
=1+2cos(x+
π
3

∴函数f(x)的周期为2π,

∵2cos(x+

π
3
)∈[-2,2],∴函数的值域为[-1,3].                      …(5分)

(Ⅱ)因为f(a-

π
3
)=
1
3
,所以1+2cosα=
1
3
,即cosα=-
1
3
.                            …(6分)

因为α为第二象限角,所以sinα=

2
2
3
.      

所以

cos2a
1-tana
=cosα(cosα+sinα)=-
1
3
×(-
1
3
+
2
2
3
)=
1-2
2
9
                     …(13分)

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