问题
解答题
在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且满足（2b-c）cosA=acosC．
（1）求A的大小；
（2）若a=2，求△ABC的面积的最大值，并指出此时△ABC的形状．
答案
∵△ABC中，（2b-c）cosA=acosC．
∴由正弦定理，得（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC
化简整理，得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）
∵△ABC中，A+C=π-B，可得sinB=sin（A+C）
∴2sinBcosA=sinB，结合sinB＞0，将两边约去cosB
可得2cosA=1，cosA=1 2
∵A∈（0，π），∴A=
；π 3
（2）∵a=2，A=π 3
∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得
4=b2+c2-2bccos
，即b2+c2-bc=4π 3
∴b2+c2=4+bc≥2bc，可得bc≤4
又∵△ABC的面积S=
bcsinA=1 2
bc≤3 4 3
∴当且仅当b=c=2时，△ABC的面积的最大值为
，此时△ABC是等边三角形．3