问题
解答题
已知向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），且a，b满足|ka+b|=
（1）求a与b的数量积用k表示的解析式f（k）； （2）a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，请说明理由；若能，请求出相应的k值； （3）求向量a与向量b的夹角的最大值． |
答案
（1）由题，|
|=|a
|=1且|kb
+a
|=b
|3
-ka
|，b
所以(k
+a
)2=3(b
-ka
)2，b
化简可得4k
•a
=k2+1，b
∴f(k)=
•a
=b
(k＞0)；k2+1 4k
（2）若
⊥a
，则b
•a
=b
=0，而k2+1 4k
=0无解，因此k2+1 4k
和a
不可能垂直；b
若
∥a
，则|b
•a
|=|b
||a
|即b
=1，解得k=2±k2+1 4k
，3
综上，
和a
不可能垂直；b
当
和a
平行时，k=2±b
；3
（3）设
与a
夹角为θ，b
则cosθ=
=
•a b |
||a
|b
=k2+1 4k
+k 4
=(1 4k
)2+(k 2
)21 2 k
=(
-k 2
)2+1 2 k
≥1 2 1 2
因此，当且仅当
=k 2
即k=1时，cosθ有最小值为1 2 k
，此时，向量1 2
与a
的夹角有最大值为60°．b