问题 解答题
已知角α∈(0,π),向量
m
=(2,-1+cosα),
n
=(-1,cos2α)
m
n
f(x)=sinx+
3
cosx

(Ⅰ)求角α的大小;
(Ⅱ)求函数f(x+α)的最小正周期与单调递减区间.
答案

(Ⅰ)由已知得2cos2α+cosα-1=0

cosα=

1
2
或cosα=-1,

∵角α∈(0,π),

cosα=

1
2
⇒α=
π
3

(Ⅱ)∵f(x)=sinx+

3
cosx=2sin(x+
π
3
)

f(x+α)=2sin(x+

3
)

∴周期T=2π

2kπ+

π
2
<x+
3
<2kπ+
2
,k∈z,

x∈(2kπ-

π
6
,2kπ+
6
),k∈z时函数f(x+α)单调递减

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