问题
解答题
在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆在正方形内的圆弧上的任意一点，设向量
（Ⅰ）求点（μ，λ）的轨迹方程（不需限制变量取值范围）； （Ⅱ）求λ+μ的最小值． |
答案
（Ⅰ）如图，
以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，
设E（
，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0）． 1 2
设P（cosθ，sinθ），∴
=（1，1）．AC
由向量
=λAC
+μDE AP
=λ（
，-1）+μ（cosθ，sinθ）1 2
=（
+μcosθ，-λ+μsinθ）=（1，1），λ 2
∴
+μcosθ=1，-λ+μsinθ=1，λ 2
即μcosθ=1-
①，λ 2
μsinθ=1+λ ②．
①2+②2得：5λ2+4λ-4μ2+8=0；
（Ⅱ）由
+μcosθ=1，-λ+μsinθ=1，λ 2
∴
，λ= 2sinθ-2cosθ sinθ+2cosθ μ= 3 sinθ+2cosθ
∴λ+μ=
，2sinθ-2cosθ+3 sinθ+2cosθ
由题意可知：0≤θ≤
，∴0≤sinθ≤1，0≤cosθ≤1，π 2
∴当cosθ取得最大值1时，同时sinθ取得最小值0，这时λ+μ取最小值为
=0-2+3 0+2
．1 2
∴λ+μ的最小值为
．1 2
