A、CO₃^2-、Cl^-加入AgNO₃溶液，都会有白色沉淀产生，离子方程式为：Ag⁺+Cl^-═AgCl↓，2Ag⁺+CO₃^2-═Ag₂CO₃↓，故A错误；

B、HCO₃^-、CO₃^2-和稀盐酸反应都有无色无味的二氧化碳产生，离子方程式为：HCO₃^-+H⁺═H₂O+CO₂↑，CO₃^2-+2H⁺═H₂O+CO₂↑，故B错误；

C、加MgCl₂溶液有白色沉淀产生，再加稀盐酸沉淀溶解，产生的可使澄清石灰水变浑浊的无色无味气体为CO₂，说明该白色沉淀为MgCO₃，溶液中大量存在CO₃^2-，离子方程式为：CO₃^2-+Mg²⁺═MgCO₃↓，MgCO₃+2H⁺═Mg²⁺+H₂O+CO₂↑，故C正确；

D、HCO₃^-、CO₃^2-和Ba（OH）₂溶液都能够反应生成BaCO₃白色沉淀，离子方程式为：CO₃^2-+Ba²⁺═BaCO₃↓，HCO₃^-+Ba²⁺+OH^-═BaCO₃↓+H₂O，故D错误．

故选C．