设y=3sin²x-cos²x-4cosx+a=-4cos²x-4cosx+3+a=-4(cosx+

1

2

)2+4+a，-1≤cosx≤1．

故当cosx=1时，函数y有最小值为-9+4+a=a-5； 当cosx=-

1

2

时，函数y有最大值为 4+a．

又不等式4≤3sin²x-cos²x-4cosx+a≤20恒成立，∴a-5≥4，4+a≤20．

解得 9≤a≤16，即a的取值范围为[9，16]．