问题
问答题
设函数f(x)在闭区间[0，13上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，
证明：存在
，使得f’(ξ)+f’(η)=ξ2+η2．
答案
参考答案：[证明] 采用倒推法
首先，分离中值ξ与η，即将依赖ξ与η的项分别移到等式的两端：
[*]
其次，考虑分别对哪些函数，分别在哪些区间上用哪一个微分学中值定理可得到前一步中等式两端的结论．
由于f’(ξ)-ξ2是函数[*]的导函数F’(x)在x=ξ处的值，而η2-f’(η)是函数[*]的导函数G’(x)在x=η处的值，从而需要在区间[*]上把拉格朗日中值定理用于函数．F(x)，在区间[*]上把拉格朗日中值定理用于函数G(x)．即
[*]
即[*]
即[*]
最后，验证[*]是否等于[*]．若二者相等．则所要证明的结论成立．在本题中由于[*]成立．证毕