问题
解答题
已知点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两个动点，O是坐标原点，向量
（1）证明线段AB是圆C的直径； （2）当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为
|
答案
（1）∵向量
，OA
满足|OB
+OA
|=|OB
-OA
|，OB
∴(
+OA
) 2=(OB
-OA
) 2OB
即
2+2OA
•OA
+OB
2=OB
2-2OA
•OA
+OB
2OB
整理得
•OA
=0OB
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）
∴
=（x1，y1），OA
=（x2，y2）OB
∴x1x2+y1y2=0①
设点M（x，y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，
则
•MA
=0MB
即（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0
展开上式并将 ①代入得x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0
故线段AB是圆C的直径．
（Ⅱ）设圆C的圆心为C（x，y），
则x=
，y=x1+x2 2 y1+y2 2
∵y12=2px1，y22=2px2（p＞0），
∴x1x2=y12y22 4p2
又∵x1x2+y1y2=0
∴x1x2=-y1y2
∴-y1y2=y12y22 4p2
∴y1y2=-4p2
∴x=
=x1+x2 2
（y12+y22）1 4p
=
（y12+y22+2y1y2）-1 4p y1y2 2p
=
（y2+2p2）1 p
∴圆心的轨迹方程为：y2=px-2p2
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d，，则
d=|x-2y| 5
=|
(y2+2p2)-2y|1 p 5
=|(y-p)2+p2|
p5
当y=p时，d有最小值
，p 5
由题设得
=p 5 2 5 5
∴p=2