问题
问答题
一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由
连接而成．
(Ⅰ)求容器的容积；
(Ⅱ)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功(长度单位：m，重力加速度为gm/s2，水的密度为103kg/m3)
答案
参考答案：(Ⅰ)方法一 由对称性，只须考察[*]部分，容器的边界曲线可表为[*]，从而其容积
[*]
方法二 容器的边界曲线表可为
[*]
从而其容积
[*]
(Ⅱ)容器内侧曲线x=f(y)如题(Ⅰ)所示．在y轴上任取[y，y+dy]，容器中对应薄片的水的重量为ρgπf2(y)dy(ρ为水的密度)，它升高的距离d(y)=2-y．将此薄片抽出容器顶部所做的功为
dW=ρgπf2(y)(2-y)dy，
于是全部抽出容器内的水做的功为
[*]
其中
[*]
再代入上式得
[*]