问题
问答题
设A=E-ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．
证明：(Ⅰ)A2=A的充分必要条件是ξTξ=1．
(Ⅱ)当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．
答案
参考答案：[证] (Ⅰ)由[*]
那么[*]
因为ξ是非零列向量，ξξT≠0．
所以[*]
(Ⅱ)当ξTξ=1时，由(Ⅰ)知A2=A．那么如果A可逆，则有
A=A-1A2=A-1A=E
与A=E-ξξT≠E相矛盾．