问题
解答题
椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若M（2，t）（t＞0），直线x+2y-10=0上有且仅有一点P使
（Ⅲ）设椭圆左、右焦点分别为F1，F2，过E点作不与y轴垂直的直线l与椭圆交于A，B两个不同的点（B在E，A之间）若有
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答案
（i）设a为半长轴，b为半短轴，c为焦距的一半，
根据题意可知：
=2即a2=2c①，a2 c
=c a
即a2=2c2②，2 2
把②代入①解得：c=1，
把c=1代入②解得a=
，2
所以b=1，
又椭圆的中心在原点，则所求椭圆的方程为
+y2=1（4分）x2 2
（II）即以OM为直径的圆和直线x+2y-10=0相切．可求得圆心为(1，
)，半径为t 2
，1+ t2 4
所以
=|1+t-10| 5
，解得t=4（负舍）则以OM为直径的圆的方程为（x-1）2+（y-2）2=5（9分）1+ t2 4
（III）由题：
∥F1A
，则有相似比可求得F2B
=3EA EB
设A（x1，y1），B（x2，y2）∴（x1-2，y1）=3（x2-2，y2），∴解得x1=3x2-4 y1=3y2
又A，B在椭圆上，带入椭圆方程，有
解得
+(3y2)2=1(3x2-4)2 2
+y22=1x22 2 x2= 4 3 y2=± 1 3
∴求得直线方程为y=
x-1或y=-1 2
x+1（15分）1 2