（1）∵

b

-2

c

=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），

a

与

b

-2

c

垂直，

∴4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，

即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ-sinαsinβ），

∴sin（α+β）=2cos（α+β），∴tan（α+β）=2．

（2）∵

b

+

c

=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），

∴|

b

+

c

|=

(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2

=

1+2sinβcosβ+16-32cosβsinβ

=

17-15sin2β

，

∴当sin2β=-1时，|

b

+

c

|取最大值，且最大值为

32

=4

2

．

（3）∵tanαtanβ=16，∴

sinα

cosα

•

sinβ

cosβ

=16，即sinαsinβ=16cosαcosβ，

∴（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，

即

a

=（4cosα，sinα）与

b

=（sinβ，4cosβ）共线，

∴

a

∥

b

．