问题
解答题
给定椭圆C：
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程； （2）过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，求l1，l2的方程； （3）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求
|
答案
（1）由题意可得：a=
，c=3
，b=1，∴r=2
=2．(
)2+123
∴椭圆C的方程为
+y2=1，其“准圆”的方程为x2+y2=4；x2 3
（2）由“准圆”的方程为x2+y2=4，令y=0，解得x=±2，取P（2，0），
设过点P且与椭圆相切的直线l的方程为my=x-2，
联立
，消去x得到关于y的一元二次方程（3+m2）x2+4m+1=0，my=x-2
+y2=1x2 3
∴△=16m2-4（3+m2）=0，解得m=±1，
故直线l1、l2的方程分别为：y=x-2，y=-x+2．
（3）由“准圆”的方程为x2+y2=4，令y=0，解得x=±2，取点A（2，0）．
设点B（x0，y0），则D（x0，-y0）．
∴
•AB
=（x0-2，y0）•（x0-2，-y0）=(x0-2)2-y02，AD
∵点B在椭圆
+y2=1上，∴x2 3
+y02=1，∴y02=1-x02 3
，x02 3
∴
•AD
=(x0-2)2-1+AB
=x02 3
(x0-4 3
)2，3 2
∵-
＜x0＜3
，3
∴0≤
(x0-4 3
)2＜7+43 2
，3
∴0≤
•AD
＜7+4AB
，即3
•AD
的取值范围为[0，7+4AB
)3