已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为33，直线l：y=x

问题解答题

已知椭圆C1：

=1(a＞b＞0)的离心率为

，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）设C₂与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C₂上，且满足

•

=0，求|

|的取值范围．

答案

（1）由e=

得2a²=3b²，又由直线l：y=x+2与圆x²+y²=b²相切，

得b=

，a=

，∴椭圆C₁的方程为：

=1．（4分）

（2）由MP=MF₂得动点M的轨迹是以l₁：x=-1为准线，

F₂为焦点的抛物线，∴点M的轨迹C₂的方程为y²=4x．（8分）

（3）Q（0，0），设R(

，y1)，S(

，y2)，

∴

，y1)，

，y2-y1)，

由

•

=0，得

(

)

+y1(y2-y1)=0，∵y₁≠y₂

∴化简得y2=-y1-

，（10分）

∴

256

+32≥2

256

+32=64（当且仅当y₁=±4时等号成立），

∵|

(

)2+

(

+8)2-64

，

又∵y₂²≥64，∴当y₂²=64，即y₂=±8时|

|min=8

，

∴|

|的取值范围是[8

，+∞)．（13分）