问题
问答题
设曲线y=f(x)，其中y=f(x)是可导函数，且f(x)＞0．已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程．
答案
参考答案：由曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形的面积是[*]，该曲边梯形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是[*]．按题设，当t＞1时有
[*]
[*]
[*] ①
将①式两边对t求导得
[*] ②
(在①中令t=1等式自然成立)．再将②式两边求导得
2f(t)f’(t)=2f(t)+tf’(t)
即
(2f(t)-t)f’(t)=2f(t) ③
在②中令t=1得f2(1)=f(1)，因f(1)＞0，故
f(1)=1 ④
求①转化为求解微分方程的初值问题．③+④，即
[*]
其中以x代替t，y代替f(t)，[*]．
这是齐次方程，若以y为自变量，这也是一阶线性方程，即
[*]
两边乘[*]得
[*]
积分得
[*]
由初值定出[*]，从而所求曲线方程为
[*]