（Ⅰ） f(x)=

1

2

sin2ωx+

3

1+cos2ωx

2

-

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx=sin(2ωx+

π

3

)，-------（3分）

由题意知，最小正周期T=2×

π

4

=

π

2

，又T=

2π

2ω

=

π

ω

=

π

2

，所以ω=2，

∴f(x)=sin(4x+

π

3

)．-------------（6分）

（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个

π

8

个单位后，得到 y=sin[4(x-

π

8

)+

π

3

]=sin(4x-

π

6

)的图象，

再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin(2x-

π

6

)的图象，所以g(x)=sin(2x-

π

6

)．---------（9分）

令2x-

π

6

=t，∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤t≤

5

6

π，g（x）+k=0，在区间[0，

π

2

]上有且只有一个实数解，

即函数y=g（x）与y=-k在区间[0，

π

2

]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知-

1

2

≤-k＜

1

2

或-k=1

∴-

1

2

＜k≤

1

2

，或k=-1．--------（12分）