（1）设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，则a=1，

又

b

a

=

2

，得b=

2

，所以，双曲线C的方程为x2-

y2

2

=1．

（2）当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=-3，A，B的坐标为（-3，4）、（-3，-4），

DA

=(-4，4)，

DB

=(-4，-4)，得

DA

•

DB

=0．

当直线AB不与x轴垂直时，设此直线方程为y=k（x+3），由

y=k(x+3) 2x2-y2=2

得（2-k²）x²-6k²x-9k²-2=0．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

6k2

2-k2

，x1•x2=

-9k2-2

2-k2

，

故

DA

•

DB

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+3)(x2+3)

=(k2+1)x1x2+(3k2-1)(x1+x2)+9k2+1．

=(k2+1)

-9k2-2

2-k2

+(3k2-1)

6k2

2-k2

+9k²+1=0．综上，

DA

•

DB

=0为定值．

（3）当M，N满足EM⊥EN时，取M，N关于x轴的对称点M'、N'，由对称性知EM'⊥EN'，此时MN与M'N'所在直线关于x轴对称，若直线MN过定点，则定点必在x轴上．

设直线MN的方程为：x=my+t，

由

x=my+t b2x2-a2y2=a2b2

，得（b²m²-a²）y²+2b²mty+b²（t²-a²）=0

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y1+y2=

-2b2mt

b2m2-a2

，y1y2=

b2(t2-a2)

b2m2-a2

，

由EM⊥EN，得（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=0，（my₁+t-a）（my₂+t-a）+y₁y₂=0，

即(1+m2)y1y2+m(t-a)(y1+y2)+(t-a)2=0，(1+m2)

b2(t2-a2)

b2m2-a2

-m(t-a)

2b2mt

b2m2-a2

+(t-a)2=0，

化简得，t=

a(a2+b2)

a2-b2

或t=a（舍），

所以，直线MN过定点（

a(a2+b2)

a2-b2

，0）．

情形一：在双曲线Γ：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0，a≠b)中，若E'为它的左顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E'），且E'M⊥E'N，则直线MN过定点（-

a(a2+b2)

a2-b2

，0）．

情形二：在抛物线y²=2px（p＞0）中，若M，N为抛物线上的两点（都不同于原点O），且OM⊥ON，则直线MN过定点（2p，0）．…..（16分）

情形三：（1）在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，若E为它的右顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，则直线MN过定点（

a(a2-b2)

a2+b2

，0）；

（2）在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，若E'为它的左顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点E'），且E'M⊥E'N，则直线MN过定点（

a(b2-a2)

a2+b2

，0）；

（3）在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，若F为它的上顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点F），且FM⊥FN，则直线MN过定点（0，

b(b2-a2)

a2+b2

）；        

（4）在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，若F'为它的下顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点F'），且F'M⊥F'N，则直线MN过定点（0，

b(a2-b2)

a2+b2

）．