（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，F(-c，0)，M(-

a2

c

，0)．

由

OM

=4

OF

，有(-

a2

c

，0)=4(-c，0)．（3分）

则有

a2

c

=4c，即

c2

a2

=

1

4

，∴e=

c

a

=

1

2

．（6分）

（2）设直线AB的方程为y=

2

(x+c)，直线AB与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

由（I）可得a²=4c²，b²=3c²．

由

3x2+4y2=12c2 y= 2 (x+c).

 消去y，得11x²+16cx-4c²=0．（9分）

故 x1+x2=-

16c

11

，x1x2=-

4

11

c2． 

∵

AB

•

OB

=(x1，y1)•(x2，y2)=x1x2+y1y2，

且y₁•y₂=2（x₁+c）（x₂+c）=2x₁x₂+2c（x₁+x₂）+2c²．

∴3x₁x₂+2c（x₁+x₂）+2c²=-2．（11分）

即-

12

11

c2-

32

11

c2+2c2=-2，∴c²=1．则a²=4，b²=2．

椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．（13分）