问题 填空题
设M是△ABC内一点,
AB
AC
=2
3
,∠BAC=30°
,定义f(x)=(m,n,p),其中m,n,p分别是△MBC,△MAC,△MAB的面积,若f(Q)=(
1
2
,x,y)
1
x
+
4
y
=a , 则
a2+2
a
的取值范围是______.
答案

AB
AC
=2
3
,∠BAC=30°,

∴由向量的数量积公式得|

AB
||
AC
|cos∠BAC=2
3

|

AB
||
AC
|=4

S△ABC=

1
2
|
AB
||
AC
|sin30°=1

∴x+y=1-

1
2
=
1
2

a=

1
x
+
4
y
=2(
1
x
+
4
y
)(x+y)=2(
y
x
+
4x
y
+5)≥2(2
y
x
4x
y
+5)
=18

当且仅当

y
x
=
4x
y
时.取等号,∴a≥18

a2+2
a
=a+
2
a
在(0,
2
)上单调递减,在(
2
,+∞)上单调递增

a2+2
a
=a+
2
a
在[18,+∞)上单调递增,

a2+2
a
=a+
2
a
163
9

a2+2
a
的取值范围是[
163
9
,+∞

故答案为:[

163
9
,+∞).

单项选择题
单项选择题