问题
解答题
已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F（1，0）为定点，且满足
（Ⅰ）求动点N的轨迹E的方程； （Ⅱ）过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点C，使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立，请说明理由． |
答案
（Ⅰ）设N（x，y），则由
+PN 1 2
=NM
，得P为MN的中点．0
∴P(0，
)，M(-x，0)．y 2
∴
=(-x，-PM
)，y 2
=(1，-PF
)．y 2
∴
•PM
=-x+PF
，即y2=4x．y2 4
∴动点N的轨迹E的方程y2=4x．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1），由
，消去x得y2-y=k(x-1) y2=4x
y-4=0．4 k
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=
，y1y2=-4．4 k
假设存在点C（m，0）满足条件，则
=(x1-m，y1)，CA
=(x2-m，y2)，CB
∴
•CA
=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2CB
=(
)2-m(y1y2 4
)+m2-4y12+y22 4
=-
[(y1+y2)2-2y1y2]+m2-3m 4
=m2-(
+2)m-3．4 k2
∵△=(
+2)2+12＞0，4 k2
∴关于m的方程m2-(
+2)m-3=0有解．4 k2
∴假设成立，即在x轴上存在点C，使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立．