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问题 解答题
在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且C=
π
3
，a+b=λc，（其中λ＞1）．
（Ⅰ）若c=λ=2时，求
AC
•
BC
的值；
（Ⅱ）若
AC
•
BC
=
1
6
（λ4+3）时，求边长c的最小值及判定此时△ABC的形状．
答案

（Ⅰ）∵a+b=λc由正弦定理得：sinA+sinB=λsinC，

又∵λ=2，C=

π
3
⇒sinB+sin(
2π
3
-B)=
3
⇒sin(B+
π
6
)=1，

∴B=

π
3
，根据c=2，得到△ABC为边长为2的等边三角形，

∴

AC
•
BC
=abcosC=2；

（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab，

由

AC
•
BC
=
1
6
(λ4+3)⇒ab=
1
3
(λ4+3)，又a+b=λc，

∴c2=λ2c2-(λ4+3)⇒c2=

λ4+3
λ2-1
=(λ2-1)+
4
λ2-1
+2≥6

∴cmin=

6
当且仅当λ=
3
时取等号．此时c=
6
，ab=4，a+b=3
2
，

∴

a=
2
b=2
2
c=
6
或
a=2
2
b=
2
c=
6
，

∴△ABC为直角三角形．

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