问题
问答题
设函数f(x)在(-∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d)．记
(Ⅰ)证明曲线积分I与路径L无关；
(Ⅱ)当ab=cd时，求I的值．
答案
参考答案：(Ⅰ)[证] 由于
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在上半平面内处处成立，则在上半平面(y＞0)内曲线积分I与路径无关．
(Ⅱ)[解法一] 由于I与路径无关，故可取积分路径L为由点(a，b)到点(c，b)再到点(c，d)的折线段，所以
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[解法二] [*]
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设F(x)是f(x)的一个原函数，则
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当ab=cd时，F(cd)-F(ab)=0，由此得
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解析：[评注] 本题的第(Ⅱ)问是要计算一个与路径无关的线积分．解法一是利用改换路径(是折线)进行计算；解法二是利用分组凑微分，进一步找原函数方法计算，对本题而言，解法二简单．