问题
解答题
已知O为原点，向量
（1）求证：（
（2）求tan∠AOB的最大值及相应x值． |
答案
（1）∵0＜x＜
，∴3sinx＞sinx，∴π 2
-OA
≠0OB
又
-OA
=(0，2sinx)OB
∴（
-OA
）•OB
=0×2+2sinx×0=0OC
∴（
-OA
）⊥OB
．OC
（2）tan∠AOC=
=tanx，tan∠BOC=3sinx 3cosx
=sinx 3cosx
tanx1 3
∵
-OA
=OB
，∴BA
⊥BA
，0＜∠AOB＜OC
．π 2
∴tan∠AOB=tan（∠AOC-∠BOC）
=
=tan∠AOC-tan∠BOC 1+tan∠AOCtan∠BOC tanx-
tanx1 3 1+
tan2x1 3
=
≤2tanx 3+tan2x
=2tanx 2 3tanx 3 3
（当tanx=
即x=3
时取“=”）π 3
所以tan∠AOB的最大值为
，相应的x=3 3 π 3