问题
解答题
已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小正周期是
（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间； （Ⅲ）若f（x）-a2＞2a在x∈[0，
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答案
（Ⅰ）f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1
=2•
+sin2ωx+11+cos2ωx 2 =sin2ωx+cos2ωx+2 =
(sin2ωxcos2
+cos2ωxsinπ 4
)+2π 4 =
sin(2ωx+2
)+2π 4
由函数f（x）的最小正周期是
，可得π 2
=2π 2ω
，所以ω=2；π 2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=
sin(4x+2
)+2．π 4
当
+2kπ≤4x+π 2
≤π 4
+2kπ，即3π 2
+π 16
≤x≤kπ 2
+5π 16
(k∈Z)时，kπ 2
函数f（x）的单调递减区间为：[
+π 16
，kπ 2
+5π 16
](k∈Z)；kπ 2
（Ⅲ）∵f（x）-a2＞2a，
∴a2+2a＜f（x），
∵x∈[0，
]，即4x+π 8
∈[π 4
，π 4
]，3π 4
∴
≤sin≤1，2 2
∴f（x）有最小值为3，
由a2+2a＜f（x）恒成立，得a2+2a＜3，
∴-3＜a＜1
实数a的取值范围是（-3，1）．