问题
解答题
设离心率e=
（Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）若相异两点A、B关于x轴对称，直线BC交x轴与点Q，求
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答案
（Ⅰ）设以|PF1|为直径的圆经过椭圆M短轴端点N，
∴|NF1|=a，∵e=
，∴a=2c，1 2
∴∠NF1P=
，|PF1|=2a．π 3
∴F2（c，0）是以|PF1|为直径的圆的圆心，
∵该圆和直线x+
y+3=0相切，3
∴2c=
，解得c=1，a=2，b=|c+3| 1+(
)23
，3
∴椭圆M的方程为：
+x2 4
=1．y2 3
（Ⅱ）设点A（x1，y1），C（x2，y2），则点B（x1，-y1），
设直线PA的方程为y=k（x-3），
联立方程组
，消掉y，化简整理得（4k2+3）x2-24k2x+36k2-12=0，
+x2 4
=1y2 3 y=k(x-3).
由△=（24k2）2-4•（3+4k2）•（36k2-12）＞0，得0＜k2＜
．3 5
则x1+x2=
，x1x2=24k2 4k2+3
．36k2-12 4k2+3
直线BC的方程为：y+y1=
(x-x1)，y2+y1 x2-x1
令y=0，则x=
=y1x2+y2x1 y1+y2
=2x1x2-3(x1+x2) x1+x2-6
=
-72k2-24 4k2+3 72k2 4k2+3
-624k2 4k2+3
．4 3
∴Q点坐标为(
，0)．4 3
•QA
=(x1-QC
)(x2-4 3
)+y1y2=(x1-4 3
)(x2-4 3
)+k2(x1-3)(x2-3)4 3
=(1+k2)x1x2-(3k2+
)(x1+x2)+9k2+4 3 16 9
=(1+k2)•
-(3k2+36k2-12 4k2+3
)•4 3
+9k2+24k2 4k2+3 16 9
=
+19k2-12 4k2+3
=16 9
-235 36
．105 16k2+12
∵0＜k2＜
，3 5
∴
•QA
∈(-QC
，20 9
)．5 3