问题
解答题
已知A，B，C均在椭圆M：
（Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）设是椭圆M上的任一点，EF为圆N：x2+（y-2）2=1的任一条直径，求
|
答案
（Ⅰ）因为
•AC
=0，所以有F1F2
⊥AC F1F2
所以△AF1F2为直角三角形；
∴|
|cos∠F1AF2=|AF1
|AF2
则有9
•AF1
=9|AF2
||AF1
|cos∠F1AF2=9|AF2
|2=AF2
2=|AF1
|2AF1
所以，|
|=3|AF1
|AF2
又|
|+|AF1
|=2a，AF2
∴|
|=AF1
，|3a 2
|=AF2 a 2
在△AF1F2中有|
|2=|AF1
|2+|AF2
|2F1F 2
即(
)2=(3a 2
)2+4(a2-1)，解得a2=2a 2
所求椭圆M方程为
+y2=1x2 2
（Ⅱ）由题意可知N（0，2），E，F关于点N对称，
设E（x0，y0），则F（-x0，4-y0）有x02+(y0-2)2=1，
∴
•PE
=x2-x02+4y0-4y-y02+y2=x2+2y2-（x02+（y0-2）2）-y2+4-4y=-（y+2）2+9PF
P是椭圆M上的任一点，y∈[-1，1]，
所以当y=-1时，
•PE
的最大值为8．PF