问题
问答题
平面上有n个圆，其中每两个圆相交于两点，且每三个圆都不相交于一点，用f(n)表示n个圆把平面分成的部分个数．已知f(1)=2，f(2)=4，f(3)=8，f(4)=14…．试猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
答案
参考答案：猜想f(n)=n2-n+2．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n=1时，f(1)=12-1+2=2，成立．
(2)假设当n=k时，命题成立，即f(k)=k2-k+2．当n=k+1时，可知前k个圆把平面分成k2-k+2个部分．第k+1个圆与前k个圆有2k个交点，也就是说第k+1个圆被这k个圆分成了2k条孤，这2k条弧中的每一条把所在的部分分成了2部分，故共增加了2k个部分，所以f(k+1)=k2-k+2+2k=k2+2k+1-k-1+2=(k+1)2-(k+1)+2，即n=k+1时，命题也成立．
综上所述，．f(n)=n2-n+2成立．