过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不

问题解答题

过抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k₁，k₂的两条不同直线l₁，l₂，且k₁+k₂=2．l₁与E交于点A，B，l₂与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．
（I）若k₁＞0，k₂＞0，证明：

•

＜2p2；
（II）若点M到直线l的距离的最小值为

，求抛物线E的方程．

答案

（I）由题意，抛物线E的焦点为F(0，

)，直线l₁的方程为y=k1x+

．

由

y=k1x+

x2=2py

，得x2-2pk1x-p2=0．

设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁，x₂是上述方程的两个实数根．

从而x₁+x₂=2pk₁，y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk12+p．

所以点M的坐标为(pk1，pk12+

)，

=(pk1，pk12)．

同理可得点N的坐标为(pk2，pk22+

)，

=(pk2，pk22)．

于是

•

=p2(k1k2+k12k22)．

由题设k₁+k₂=2，k₁＞0，k₂＞0，k₁≠k₂，所以0＜k1k2＜(

k1+k2

)2=1．

故

•

＜p2(1+12)=2p2．

（Ⅱ）由抛物线的定义得|FA|=y1+

，|FB|=y2+

，

所以|AB|=y1+y2+p=2pk12+2p，从而圆M的半径r1=pk12+p．

故圆M的方程为(x-pk1)2+(y-pk12-

)2=(pk12+p)2，

化简得x2+y2-2pk1x-p(2k12+1)y-

p2=0．

同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2k22+1)y-

p2=0

于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为(k2-k1)x+(k22-k12)y=0．

又k₂-k₁≠0，k₁+k₂=2，则l的方程为x+2y=0．

因为p＞0，所以点M到直线l的距离为

|2pk12+pk1+p|

p|2k12+k1+1|

p[2(k1+

)2+

]

．

故当k1=-

时，d取最小值

．由题设

，解得p=8．

故所求抛物线E的方程为x²=16y．