问题 解答题
过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2.l1与E交于点A,B,l2与E交于C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.
(I)若k1>0,k2>0,证明:
FM
FN
<2p2

(II)若点M到直线l的距离的最小值为
7
5
5
,求抛物线E的方程.
答案

(I) 由题意,抛物线E的焦点为F(0,

p
2
),直线l1的方程为y=k1x+
p
2

y=k1x+
p
2
x2=2py
,得x2-2pk1x-p2=0

设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实数根.

从而x1+x2=2pk1y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk12+p

所以点M的坐标为(pk1,pk12+

p
2
),
FM
=(pk1,pk12)

同理可得点N的坐标为(pk2,pk22+

p
2
),
FN
=(pk2,pk22)

于是

FM
FN
=p2(k1k2+k12k22).

由题设k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,所以0<k1k2<(

k1+k2
2
)2=1.

FM
FN
p2(1+12)=2p2

(Ⅱ)由抛物线的定义得|FA|=y1+

p
2
|FB|=y2+
p
2

所以|AB|=y1+y2+p=2pk12+2p,从而圆M的半径r1=pk12+p

故圆M的方程为(x-pk1)2+(y-pk12-

p
2
)2=(pk12+p)2

化简得x2+y2-2pk1x-p(2k12+1)y-

3
4
p2=0.

同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2k22+1)y-

3
4
p2=0

于是圆M,圆N的公共弦所在的直线l的方程为(k2-k1)x+(k22-k12)y=0

又k2-k1≠0,k1+k2=2,则l的方程为x+2y=0.

因为p>0,所以点M到直线l的距离为

d=

|2pk12+pk1+p|
5
=
p|2k12+k1+1|
5
=
p[2(k1+
1
4
)2+
7
8
]
5

故当k1=-

1
4
时,d取最小值
7p
8
5
.由题设
7p
8
5
=
7
5
5
,解得p=8.

故所求抛物线E的方程为x2=16y.

单项选择题
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