问题
填空题
设G为△ABC的重心，
|
答案
因为
|BC|3
+2|CA|GA
+2GB
|AB|3
=GC 0
设三角形的边长顺次为a，b，c，根据正弦定理得：
a 3
+2b GA
+2GB
c 3
=GC
，0
由点G为三角形的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：
3
=GA
+BA
，3 CA
=GB
+CB
，3 AB
=GC
+AC
，BC
代入上式得：
a（ 3
+BA
）+2b（ CA
+AB
）+2CB
c（ 3
+AC
）=BC
，0
又
=CA
+CB
，上式可化为：BA
a（2 3
+BA
）+2b（ CB
+AB
）+2CB
c（-3
+2 BA
）=BC
，0
即（2
a-2b-23
c） 3
+（-BA
a-2b+43
c） 3
=BC
，0
则有
，令b=2
a-2b-23
c=0① 3 -
a-2b+43
c=0② 3
，解得：3
，a=2 c=1
所以cosB=
=a2+c2-b2 2ac
=22+12-
23 2×2×1
，1 2
cosC=
=a2+b2-c2 2ab
=22+
2-123 2×2× 3
，3 2
∴
=
•AB BC
•BC AC
=|
|•AB
|cos(π-B)|BC |
|•|BC
|cosCAC
=-c•cosB bcosC
=--1• 1 2
×3 3 2 1 3
故答案为：-1 3
