∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）=-1，

∴sin（x+

π

4

）=-

2

2

，

∴x+

π

4

=2kπ-

3π

4

或x+

π

4

=2kπ-

π

4

，k∈Z．

∴x=2kπ-π或x=2kπ-

π

2

．k∈Z

当x=2kπ-π，cosx=-1，sinx=0，

∴sin²⁰⁰⁵x+cos²⁰⁰⁵x=-1；

当x=2kπ-

π

2

，cosx=0，sinx=-1，

∴sin²⁰⁰⁵x+cos²⁰⁰⁵x=-1．

综上所述，sin²⁰⁰⁵x+cos²⁰⁰⁵x的值为-1．

故选C．