已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，长轴长为4，M为右顶

问题解答题

已知椭圆

=1(a＞b＞0)的离心率为

，长轴长为4，M为右顶点，过右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点，直线AM、BM与x=4分别交于P、Q两点，（P、Q两点不重合）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当直线AB与x轴垂直时，求证：

•

=0
（3）当直线AB的斜率为2时，（2）的结论是否还成立，若成立，请证明；若不成立，说明理由．

答案

（1）由题意有2a=4，a=2，e=

，c=1，b²=3

∴椭圆的标准方程为

=1…（3分）

（2）直线AB与x轴垂直，则直线AB的方程是x=1

则A（1，

）B（1，-

），M（2，0）

AM、BM与x=1分别交于P、Q两点，A，M，P三点共线，

，

共线 …（4分）

可求P（4，-3），∴

=(3，-3)，

同理：Q（4，3），

=(3，3)

∴

•

=0命题成立． …（5分）

（3）若直线AB的斜率为2，∴直线AB的方程为y=2（x-1），

又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）

联立

y=2(x-1)

消y得 19x²-32x+4=0

∴x1+x2=

，x1x2=

∴y1y2=4(x1-1)(x2-1)=

-36

…（7分）

又∵A、M、P三点共线，

∴y3=

2y1

x1-2

同理y4=

2y2

x2-2

∴

=(3，

2y1

x1-2

)，

=(3，

2y2

x2-2

)

∴

•

=9+

4y1y2

x1x2-2(x1+x2)+4

综上所述：

•

=0，结论仍然成立…（10分）