问题
解答题
在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为A(-
（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程； （2）若过点P（0，1）的直线与（1）轨迹相交于E，F两点，求
|
答案
（1）设（x，y），
∵
+MA
+MB
=0，MC
∴M（
，x 3
）．y 3
又|
|=|NA
|且向量NB
与MN
共线，AB
∴N在边AB的中垂线上，
∴N（0，
）．y 3
而|
|=NC
|7
|，NA
∴x2-
=1（y≠0）．------（6分）y2 3
（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），
过点P（0，1）的直线方程为y=kx+1，
代入x2-
=1y2 3
得 （3-k2）x2-2kx-4=0（x≠±1）
∴△=4k2+16（3-k2）＞0，
k2＜4k∈(-2，2)(k≠±
，±1)．------------------------------（4分）3
而x1，x2是方程的两根，
∴x1+x2=
，x1x2=2k 3-k2
．-4 3-k2
∴
•PE
=（x1，y1-1）•（x2，y2-1）PF
=x1x2+kx1•kx2
=
--------（2分）-4(1+k2) 3-k2
即
•PE
=4（1+PF
） ∈(-∞，-4)∪(-4，-4 k2-3
]∪(20，+∞)4 3
故
•PE
的取值范围为(-∞，-4)∪(-4，-PF
]∪(20，+∞)---------------（4分）4 3
