问题
解答题
已知A，B是△ABC的两个内角，
（1）试问tanA•tanB是否为定值，若是定值，请求出，否则请说明理由； （2）求tanC的最大值，并判断此时三角形的形状． |
答案
（1）tanA•tanB为定值
，证明如下：1 3
由|
|2=a
，得2cos23 2
+sin2A+B 2
=A-B 2 3 2
∴1+cos（A+B）+
=1-cos(A-B) 2 3 2
即2cos（A+B）=cos（A-B），即cosAcosB=3sinAsinB
∴tanAtanB=1 3
（2）∵tanAtanB=
＞0，∴tanA＞0，tanB＞01 3
∴tan（A+B）=
=tanA+tanB 1-tanAtanB
（tanA+tanB）≥3 2
×23 2
=tanA•tanB 3
∴tan（A+B）≥
，即-tanC≥3 3
∴tanC≤-3
当tanC=-
时，3
，即tanA=tanB=tanA+tanB= 2 3 3 tanA•tanB= 1 3 3 3
∴A=B=30°
∴tanC的最大值为-
，此时△ABC为等腰三角形3