问题
解答题
| 已知函数f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求函数f（x）图象的对称轴方程和单调递减区间； （2）若函数g（x）=f（x）-f（
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答案
f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1=sin2ωx-cos2ωx=
sin（2ωx-2
）．π 4
由于函数f（x）的最小正周期为T=
=π，故ω=1，即函数f（x）=2π 2ω
sin（2x-2
）．π 4
（1）令2x-
=kπ+π 4
（k∈Z），得x=π 2
+kπ 2
（k∈Z），3π 8
即为函数f（x）图象的对称轴方程．
令
+2kπ≤2x-π 2
≤π 4
+2kπ（k∈Z），得3π 2
+kπ≤x≤3π 8
+kπ（k∈Z），7π 8
即函数f（x）的单调递减区间是[
+kπ，3π 8
+kπ]（k∈Z）．7π 8
（2）g（x）=f（x）-f（
-x）=π 4
sin（2x-2
）-π 4
sin[2（2
-x）-π 4
]=2π 4
sin（2x-2
），π 4
由于x∈[
，π 8
]，则0≤2x-3π 4
≤π 4
，5π 4
故当2x-
=π 4
即x=π 2
时函数g（x）取得最大值23π 8
，当2x-2
=π 4
即x=5π 4
时函数g（x）取得最小值-2．3π 4