问题 解答题
已知函数f(x)=
3
sinxcosx-cos2x+
1
2

(I)求函数f(x)的对称中心和单调区间;
(II)已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a,b,3,且f(C)=1,若向量
m
=(1,sinA)与
n
=(2,sinB)
共线,求a、b的值.
答案

(I)f(x)=

3
sinxcosx-cos2x+
1
2
=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x
=sin(2x-
π
6

2x-

π
6
=kπ,则x=
2
+
π
12
,∴函数f(x)的对称中心为(
2
+
π
12
,0)(k∈Z);

2x-

π
6
∈[-
π
2
+2kπ,
π
2
+2kπ],可得x∈[kπ-
π
6
,kπ+
π
3
]
,∴函数的单调增区间为[kπ-
π
6
,kπ+
π
3
]
(k∈Z);令2x-
π
6
∈[
π
2
+2kπ,
2
+2kπ]
,可得x∈[kπ+
π
3
,kπ+
6
]
,∴函数的单调减区间为[kπ+
π
3
,kπ+
6
]
(k∈Z);

(II)∵f(C)=1,∴sin(2C-

π
6
)=1,∵0<C<π,∴C=
π
3

∵向量

m
=(1,sinA)与
n
=(2,sinB)共线,

∴sinB=2sinA,∴b=2a

∵c=3,∴由余弦定理可得a2+b2-ab=9

∴a=

3
,b=2
3

单项选择题 A1/A2型题
问答题