问题
解答题
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）试判断△ABC的形状； （2）若△ABC的周长为16，求此三角形面积的最大值． |
答案
（1）由
=sin A 2 cos A 2 sin c 2 -sin B 2 cos B 2 0 -sec B 2 0 1
可得：sin2
cosA 2
+cosB 2
sinA 2
+sinB 2
=C 2
---------------2分分2
即sin(
)+sinA+B 2
=C 2
-------------------------------------------------------3分2
∵A，B，C为△的内角，∴
=A+B 2
即sin(π-C 2
)+sinπ-C 2
=C 2
∴cos2
+sinC 2
=C 2
，可得：2
sin(2
+C 2
)=π 4
---------------------5分2
即sin(
+C 2
)=1，∵π 4
+C 2
∈(π 4
，π 4
)-------------------------------------6分3π 4
∴
+C 2
=π 4
即∠C=π 2
，∴此三角形为直角三角形；--------------------8分π 2
（2）由已知可知a+b+c=16且a2+b2=c2，可得：a+b+
=16-----9分a2+b2
又∵a+b+
≥2a2+b2
+ab
（∵a，b∈R+）--------------------------10分2ab
即
≤ab
=8(2-16 2+ 2
)当且仅当a=b时等号成立-----------------------12分2
此时ab≤64(2-
)2即面积有最大值为192-1282
-------------------------14分2