问题
解答题
已知椭圆C经过点A(1,
(1)求椭圆C的方程; (2)求|PF1|•|PF2|的最大值和最小值. (3)求
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答案
(1)双曲线y2-x2=1的顶点为(0,1)
由题意,设椭圆C的方程为
+y2=1(a>1),则将A(1, x2 a2
)代入可得3 2
+1 a2
=13 4
∴a=2
∴椭圆C的方程为
+y2=1;x2 4
(2)设|PF1|=m,则|PF2|=4-m,且2-
≤m≤2+3 3
∴|PF1|•|PF2|=m(4-m)=-(m-2)2+4
∴m=2时,|PF1|•|PF2|的最大值为4;m=2±
时,|PF1|•|PF2|的最小值为1;3
(3)设P(x,y),则
•PF1
=(-x-PF2
,-y)•(3
-x,-y)=x2+y2-3=3
(3x2-8),1 4
∵x∈[-2,2]
∴当x=0时,即点P为椭圆短轴端点时,
•PF1
有最小值-2;PF2
当x=±2,即点P为椭圆长轴端点时,
•PF1
有最大值1PF2