问题 解答题
已知椭圆C经过点A(1 
3
2
)
,且经过双曲线y2-x2=1的顶点.P是该椭圆上的一个动点,F1,F2是椭圆的左右焦点,
(1)求椭圆C的方程;
(2)求|PF1|•|PF2|的最大值和最小值.
(3)求
PF1
PF2
的最大值和最小值.
答案

(1)双曲线y2-x2=1的顶点为(0,1)

由题意,设椭圆C的方程为

x2
a2
+y2=1(a>1),则将A(1 
3
2
)
代入可得
1
a2
+
3
4
=1

∴a=2

∴椭圆C的方程为

x2
4
+y2=1;

(2)设|PF1|=m,则|PF2|=4-m,且2-

3
≤m≤2+
3

∴|PF1|•|PF2|=m(4-m)=-(m-2)2+4

∴m=2时,|PF1|•|PF2|的最大值为4;m=

3
时,|PF1|•|PF2|的最小值为1;

(3)设P(x,y),则

PF1
PF2
=(-x-
3
,-y)•(
3
-x,-y)=x2+y2-3=
1
4
(3x2-8),

∵x∈[-2,2]

∴当x=0时,即点P为椭圆短轴端点时,

PF1
PF2
有最小值-2;

当x=±2,即点P为椭圆长轴端点时,

PF1
PF2
有最大值1

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