（本题满分14分）

（I）∵

PF1

•

F1F2

=0，

∴PF₁⊥F₁F₂，

∵F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点，点P（-1，

2

2

）在椭圆上，

∴c=1，

1

a2

+

1

2b2

=1，a²=b²+c²，

解得a²=2，b²=1，c²=1，

∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．

（II）∵直线l：y=kx+m与⊙O：x²+y²=1相切，

∴

|m|

k2+1

=1，解得m²=k²+1，

由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，…（8分）

∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

∴△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，

x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

，

∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）

=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²

=

m2-2k2

1+2k2

=

1-k2

1+2k2

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

1+k2

1+2k2

=

2

3

，

∴k=±1．