（1）在△ABC中，∵tanC=

sinA+sinB

cosA+cosB

，∴

sinC

cosC

=

sinA+sinB

cosA+cosB

，

化简可得 sinCcosA-cosCsinA=sinBcosC-cosBsinC，即 sin（C-A）=sin（B-C）．

∴C-A=B-C，或者C-A=π-（B-C） （不成立，舍去），即 2C=A+B，∴C=

π

3

．

（2）由于C=

π

3

，设A=

π

3

+α，B=

π

3

-α，-

π

3

＜α＜

π

3

，

由正弦定理可得 a=2rsinA=sinA，b=2rsinB=sinB，

∴a²+b²=sin²A+sin²B=

1-cos2A

2

+

1-cos2B

2

=1-

1

2

[cos（

2π

3

+2α）+cos（

2π

3

-2α）]

=1+

1

2

cos2α．

由-

2π

3

＜2α＜

2π

3

，可得-

1

2

＜cos2α≤1，∴

3

4

＜1+

1

2

cos2α≤

3

2

，即a²+b²的取值范围为 （

3

4

，

3

2

]．