问题
解答题
定长等于2
（Ⅰ）求轨迹C的方程； （Ⅱ）设过点（0，1）的直线l与轨迹C交于P，Q两点，问：在y轴上是否存在定点T，使得不论l如何转动，
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答案
（Ⅰ）设M(x，y)，A(x1，
x1)，B(x2，-6 2
x2)，6 2
则x1+x2=2x，x1-x2=
，代入|AB|=4y 6
=2(x1-x2)2+
(x1+x2)26 4
，6
得轨迹C的方程为
+6x2=24，即16y2 6
+y2 9
=1；x2 4
（Ⅱ）（1）若l不与y轴重合，设直线l方程为y=kx+1，代入椭圆C的方程得（4k2+9）x2+8kx-32=0，
设P（x3，kx3+1），Q（x4，kx4+1），
则x3+x4=-
，x3•x4=-8k 4k2+9
；32 4k2+9
设点T（0，t），则
•TP
=x3•x4+（kx3+1-t）•（kx4+1-t）TQ
=(1+k2)x3x4+k(1-t)(x3+x4)+(1-t)2
=-32(1+k2)-8k2(1-t)+(1-t)2(4k2+9) 4k2+9
=
，[-40+8t+4(1-t)2]k2+[-32+9(1-t)2] 4k2+9
使
•TP
为定值，则 TQ
=-32+9(1-t)2 -40+8t+4(1-t)2
，9 4
解得t=
，即对于点T(0，29 9
)总有29 9
•TP
=TQ
；16×7 9×9
（2）当l与y轴重合时，P（0，3），Q（0，-3），对于点T(0，
)也有29 9
•TP
=TQ
，16×7 9×9
故在y轴上存在定点T(0，
)使得29 9
•TP
为定值．TQ