问题
解答题
设椭圆C：
（I）求椭圆C的方程． （Ⅱ）若直线l是圆O：x2+y2=1的任意一条切线，且直线l与椭圆C相交于A，B两点，求证：
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答案
（Ⅰ）由题意可得
，解得e=
=c a 6 3 a2=b2+c2
+1 a2
=11 b2
，a2=4 b2= 4 3
∴椭圆C的方程为
+x2 4
=1．3y2 4
（Ⅱ）①当圆O的切线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，
则圆心O到直线l的距离d=
，|m| 1+k2
∴1+k2=m2．
将直线l的方程和椭圆C的方程联立
，得到（1+3k2）x2+6kmx+3m2-4=0．y=kx+m
+x2 4
=13y2 4
设直线l与椭圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
则x1+x2=-
，x1x2=6km 1+3k2
．3m2-4 1+3k2
∴
•OA
=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）OB
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=(1+k2)•
+km(-3m2-4 1+3k2
)+m26km 1+3k2
=4m2-4-4k2 1+3k2
=0，
②当圆的切线l的斜率不存在时，验证得
•OA
=0．OB
综合上述可得，
•OA
为定值0．OB