问题
解答题
在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且满足A+C=3B，cos（B+C）=-
（Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）若a=5，求△ABC的面积． |
答案
（Ⅰ）由A+C=π-B=3B⇒B=
，---------------（1分）π 4
所以cos(B+C)=cos(
+C)=-π 4
，--------------（2分）3 5
因为sin(B+C)=sin(
+C)=π 4
=1-cos2(
+C)π 4
，-------------（4分）4 5
所以sinC=sin[(
+C)-π 4
]=sin(π 4
+C)cosπ 4
-cos(π 4
+C)sinπ 4
=π 4
×4 5
+2 2
×3 5
=2 2
．-----（7分）7 2 10
（Ⅱ）由已知得sinA=sin(B+C)=
=1-cos2(B+C)
，-------------（8分）4 5
因为a=5 ， B=
， sinC=π 4
，7 2 10
所以由正弦定理
=a sinA
=b sinB
得c sinC
=b 2 2
=c 7 2 10
=5 4 5
，25 4
解得b=
， c=25 2 8
．-----------------（12分）35 2 8
所以△ABC的面积S=
absinC=1 2
×5×1 2
×25 2 8
=7 2 10
．----------（14分）175 16
