问题 解答题
在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若sin2
B+C
2
+cos2A=
1
4
,且∠A为锐角.
(Ⅰ)求∠A的度数;
(Ⅱ)若a=
3
,b+c=3
,求△ABC的面积.
答案

(1)在△ABC中,B+C=π-A,cos(B+C)=-cosA,

sin2

B+C
2
+cos2A=
1
2
[1-cos(B+C)]+2cos2A-1=2cos2A+
1
2
cosA-
1
2
=
1
4

∴8cos2A+2cosA-3=0,

∴cosA=

1
2
或cosA=-
3
4

∵∠A为锐角,

∴cosA=

1
2
,A=60°…7分

(2)由余弦定理:a2=b2+c2-2bccos60°=3,

∴(b+c)2-3bc=3,

又b+c=3,

∴bc=2.

∴S△ABC=

1
2
bcsinA=
3
2
…14分

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填空题