由

a

=（1，1+sinθ），

b

=（1，cosθ），

∴

a

•

b

=1+cosθ+sinθcosθ，

令f（θ）=1+cosθ+sinθcosθ，

f^′（θ）=-sinθ+cos²θ-sin²θ=-2sin²θ-sinθ+1，

∵

π

4

≤θ≤

π

2

，∴sinθ∈[

2

2

，1]，f^′（θ）=-2sin²θ-sinθ+1＜0，

∴f（θ）=1+cosθ+sinθcosθ在[

π

4

，

π

2

]上为减函数，

∴f(θ)min=f(

π

2

)=1，f(θ)max=f(

π

4

)=

3+ 2

2

，

所以

a

•

b

的取值范围是[1，

3+ 2

2

]．

故答案为[1，

3+ 2

2

]