（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）

∵长轴长是短轴长的

2

倍，

∴椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1

∵M(2，

2

)在椭圆C上

∴

4

2b2

+

2

b2

=1

∴b²=4

∴椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；

（2）证明：当切线l的斜率不存在时切线方程为x=±

2 6

3

与椭圆的两个交点为（

2 6

3

，±

2 6

3

）或（-

2 6

3

，±

2 6

3

）

此时

OA

•

OB

=0；

当切线l斜率存在时，可设l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0

则△=8k²-m²+4＞0

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

m2-8k2

1+2k2

∵l与圆x2+y2=

8

3

相切

∴d=

|m|

1+k2

=

8 3

∴3m²=8k²+8

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

3m2-8k2-8

1+2k2

=0

综上所述

OA

•

OB

=0为定值．