问题
解答题
已知函数f(x)=sin(2x+
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求使f（x）≥2的x的取值范围． |
答案
（Ⅰ）∵sin(2x+
)=sin2xcosπ 6
+cos2xsinπ 6
，π 6
sin(2x-
)=sin2xcosπ 6
-cos2xsinπ 6
，cos2x=π 6
(cos2x+1)1 2
∴f(x)=sin(2x+
)+sin(2x-π 6
)+2cos2xπ 6
=sin2xcos
+cos2xsinπ 6
+sin2xcosπ 6
-cos2xsinπ 6
+cos2x+1π 6
=
sin2x+cos2x+1=2sin(2x+3
)+1π 6
可得f（x）的最小正周期T=
=2π |ω|
=π．2π 2
令-
+2kπ≤2x+π 2
≤π 6
+2kπ（k∈Z），解之得-π 2
+kπ≤x≤π 3
+kπ（k∈Z），π 6
∴函数f（x）的递增区间是[-
+kπ，π 3
+kπ]，k∈Z．π 6
（Ⅱ）由f（x）≥2，得2sin(2x+
)+1≥2（k∈Z），即sin(2x+π 6
)≥π 6
，1 2
根据正弦函数的图象，可得
+2kπ≤2x+π 6
≤π 6
+2kπ（k∈Z），5π 6
解之得kπ≤x≤kπ+
（k∈Z），π 3
∴使不等式f（x）≥2成立的x取值范围是{x|kπ≤x≤kπ+
，k∈Z}．π 3