问题 填空题
直线l与函数y=sinx(x∈[0,π])的图象相切于点A,且lOP,O为坐标原点,P为图象的极值点,l与x轴交于点B,过切点A作x轴的垂线,垂足为C,则
BA
BC
=______.
答案

∵P(

π
2
,1),直线l的斜率即为OP的斜率
1-0
π
2
-0
=
2
π
,设 A(x1,y1),

由于函数y=sinx在点A处的导数即为直线l的斜率,

∴cosx1=

2
π
,y1=sinx1=
1-cos2x1
=
1-
4
π2

∴AB直线的方程为  y-y1=

2
π
 (x-x1 ),

令y=0 可得点B的横坐标 xB =x1-

π
2
 y1

BA
BC
=|
BA|
•|
BC
|
 cos∠ABC=|
BC
|
2
=(x1-xB2 =(
π
2
y1)
2
=
π2
4 
×(1-
4
π2
)=
π2-4
4

故答案为:

π2-4
4

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