（Ⅰ）y=kx+b（b＞0）与圆x²+y²=1相切，则

|b|

1+k2

=1，

即b²=k²+1，k≠0，所以b=

k2+1

（b＞0）

∴f(k)=

k2+1

 (k∈R， k≠0)（3分）

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则由

y=kx+b x2 2 +y2=1

，消去y

得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0

又△=8k²＞0

∴x1+x2=-

4kb

2k2+1

，x1x2=

2b2-2

2k2+1

（5分）

从而

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

k2+1

2k2+1

=

2

3

，∴k=±1

∴b=

k2+1

=

2

（7分）

∴直线l的方程为：±x-y+

2

=0．（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

k2+1

2k2+1

=m，又

2

3

≤m≤

3

4

∴

2

3

≤

k2+1

2k2+1

≤

3

4

⇒

1

2

≤k2≤1（10分）

由弦长公式，得|AB|=

k2+1

•

2 2k2

2k2+1

=

2k2(k2+1)

2k2+1

又点O到直线AB的距离d=

|b|

k2+1

=

b

k2+1

=1

∴S=

1

2

|AB|•d=

2k2(k2+1)

2k2+1

（12分）S2=

2k4+2k2

4k4+4k2+1

=

1

2

-

1

2(2k2+1)2

(

1

2

≤k2≤1)

∴

6

4

≤S≤

2

3

（14分）