（1）设曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(x≥a，a＞0，b＞0)

∵一条渐近线方程是y=

1

2

x，c=

5

∴a=2b，a²+b²=c²=5

∴a=2，b=1

故所求曲线C的方程是

x2

4

-y2=1(x≥2)…（5分）

（2）设P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），

①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m

由

y=kx+m x2 4 -y2=1

，

此时1-4k²≠0

∴

x1+x2= 8km 1-4k2 ＞0 x1•x2= -4m2-4 1-4k2 ＞0

…（7分）

由

EP

•

ER

=0⇒(x1-2)(x2-2)+y1y2

=（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m）（kx₂+m）=0

∴（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0

（1+k²）•

-4m2-4

1-4k2

+（km-2）•

8km

1-4k2

+m²+4=0

整理有3m2+16km+20k2=0⇒m=-

10k

3

，或m=-2k…（10分）

当m=-2k时，直线L过点E，不合题意

当m=-

10k

3

，则直线l的方程为y=kx-

10k

3

=k(x-

10

3

)

则直线l过定点（

10

3

，0）…（12分）

②当直线l的斜率不存在时，x₁=x₂，y₁=-y₂，

由

EP

•

ER

=0，

有x12-4x1+4-

y

21

=0，又

x 21

4

-

y

21

=1

从而有x1=x2=

10

3

．此时直线L过点(

10

3

，0)

故直线l过定点(

10

3

，0)…（15分）